Es un problema muy comun en host shared, para solucionarlo es recomendable configurar en el SMTP una cuenta de correo existente, es necesario configurar la clave, puerto de salida, etc.
La recomendación seria instalar un plugin que facilite el procedimiento, como el https://es.wordpress.org/plugins/wp-mail-smtp/
Hay muchos videos explicativos de como configurar, basicamente el problema es que muchos no saben y crean formularios sin autenticarse con un correo, el host por seguridad rechaza desde el exim o antispam el mensaje que viene sin autenticar, lo recomendable es que se configure previamente una cuenta de correo especial para el formulario, luego configurar el smtp con el plugin que facilita este proceso.
Si no quiero usar plugin, puedo usar un codigo propio?
Si, claro se puede, sin embargo hay codigos que ya estan hechos y solo se deben configurar los datos de la cuenta de correo, unos de los más utilizados son los siguientes:
phpmailer
https://github.com/PHPMailer/PHPMailer/blob/master/examples/smtp.phps
swiftmailer
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